Audiologieboek
Home  |   NVA  |   Print deze pagina  |    |     
 Titel: 5.1.1(2). Fysische begrippen - Trillingen - Golven
 Auteur: Kapteyn, Lamoré
 Revisie: augustus 2008

Bij het schrijven van dit hoofdstuk is gebruik gemaakt van het basismateriaal voor de lessen aan de opleiding voor audiologieassistent zoals dat wordt gebruikt  door B. Franck (Universiteit Utrecht, afdeling KNO - Audiologie) en van het werkboek ‘Inleiding in de Fonetiek’ van de studierichting ‘Fonetiek’ (Opleiding Taalwetenschap) van de Universiteit Utrecht (auteur G. Bloothooft).


Inhoud:

5.1.1.1(2). Fysische begrippen, notaties, dimensies en eenheden

5.1.1.2(2). Harmonische bewegingen - Enkelvoudige trillingen

5.1.1.3(2). Transversale en longitudinale golven

5.1.1.4(2). Voorbeelden van transversale golven

5.1.1.5(2). Voorbeelden van longitudinale golven

5.1.1.6(2). Links

 

5.1.1.1(2). Fysische begrippen, notaties, dimensies en eenheden

De fysica vormt de basis van een groot aantal onderdelen van het vakgebied ‘audiologie’: de geluidsleer, de fysiologie, de vloeistofmechanica en de psychofysica. Het is daarom gewenst als inleiding op Rubriek 5 een aantal steeds terugkerende fysische begrippen te bespreken.


Vectoren en scalairen


Voorbeelden van fysische grootheden zijn ‘temperatuur’, ‘viscositeit’, ‘snelheid’, ‘versnelling’ en ‘kracht’. Soms worden deze grootheden gekarakteriseerd door één getal, zoals in het geval van de temperatuur (‘water kookt bij 100° C’), soms zijn twee getallen nodig om een fysische grootheid volledig te karakteriseren. Dit laatste is b.v. het geval bij de kracht die op een voorwerp uitgeoefend wordt. Die kracht heeft niet alleen een grootte (b.v. ’10 Newton’), maar ook een richting (b.v. ‘omhoog’). Een fysische grootheid welke door één getal gekarakteriseerd wordt (zoals de massa van een voorwerp) heet een ‘scalair’ en een grootheid die door twee getallen gekarakteriseerd wordt (zoals de kracht die een voorwerp ondervindt) noemt men een ‘vector’. Een vector wordt aangegeven door het symbool van de betreffende grootheid voorzien van een pijltje, dus voor de snelheid de aanduiding .


Een vector wordt weergegeven als een pijl in een assenstelsel in een plat vlak (x/y) of in drie dimensies (x/y/z). Het assenstelsel is nodig om de grootte en de richting van de vector te kwantificeren. In Fig.1(a) staan twee vectoren afgebeeld, r1 en r2. De lengte van de pijlen geeft de grootte van de vectoren weer en de hoek t.o.v. de positieve x-as (Φ voor de resultante) bepaalt de richting.


Fig.1. Optelling van twee vectoren r1 en r2 in twee dimensies (a) en in één dimensie (b). De lengte van de pijlen is een maat voor de grootte en de hoek Φ in (a) geeft de richting van de resultante aan.

Vectoren kan men, net zoals scalairen, optellen. Wanneer de twee vectoren in Fig.1 de krachten voorstellen die op een voorwerp werken kan men de ‘resultante’ bepalen. Men construeert daarvoor een ‘parallellogram’, zoals aangegeven door de stippellijnen. Eén stippellijn loopt vanuit de punt van r1 evenwijdig aan r2 en de andere loopt vanuit de punt van r2 evenwijdig aan r1. Het kruispunt van de twee stippellijnen bepaalt het eindpunt van de resultante. De resultante R is rood aangegeven. In Fig.1(b) is de situatie afgebeeld dat de twee vectoren tegengesteld gericht zijn (‘tegen elkaar in werken’). Vectoren kunnen ook ‘ontleed’ worden in componenten in verschillende richtingen.


Optelling van vectoren komt aan de orde in de hoofdstukken 4.2.1 en 8.3.1 van het leerboek. De vectoren zijn daar de componenten van de impedantie van het middenoor. Een vectoroptelling kan alleen uitgevoerd worden bij vectoren van dezelfde categorie. Men kan dus geen krachten bij snelheden optellen. Dezelfde regel geldt voor scalairen.


Eenheden en dimensies
De eenheden waarin fysische grootheden worden weergegeven bestaan uit combinaties van enkele (basale) dimensies. Het internationaal overeengekomen systeem van eenheden heet het SI systeem (‘Système International’). De belangrijkste elementen daarvan zijn de tijd, de lengte en de massa, samen het MKS systeem (‘Meter - Kilogram - Seconde’) vormend. De begrippen dimensie en eenheid worden vaak door elkaar gebruikt.


Hierna volgt een overzicht van de in dit leerboek meest gebruikte dimensies en eenheden.


Basale grootheden (dimensies):


  • De dimensie tijd (t) wordt uitgedrukt in seconden (s). Er geldt:
        1 milliseconde = 1/1000 seconde (1 ms = 10-3 s)
        1 microseconde = 1/1000.000 seconde (1 μs = 10-6 s)
        1 nanoseconde = 1/1000.000.000 seconde (1 ns = 10-9 s)


  • De dimensie lengte ( l ) wordt uitgedrukt in meters (m). Er geldt:
        1 kilometer = 1000 meter (1 km = 103 m)
        1 millimeter = 1/1000 meter (1 mm = 10-3 m)
        1 micrometer  = 1/1000.000 meter (1 μm, ook genoteerd als 1 m = 10-6 m)
        1 nanometer = 1/1000.000.000 meter (1 nm = 10-9 m)


  • De dimensie massa (m) wordt uitgedrukt in kilogrammen (kg). Er geldt
        1 kilogram = 1000 gram (1 kg = 103 g)
        1 milligram = 1/1000 gram (1 mg = 10-3 g)
        1 microgram = 1/1000.000 gram (1 μg = 10-6 g)



Hier dient men te bedenken dat massa en gewicht verschillende zaken zijn. Massa is een fundamentele eigenschap van alle materie. De hoeveelheid massa van b.v. een atoom of een stuk ijzer is overal in het heelal hetzelfde. Massa kan gewichtsloos zijn. Het gewicht van een voorwerp wordt bepaald door zwaartekracht die het voorwerp aantrekt. Een gewicht wordt dus niet weergegeven in de eenheid kg, maar in N (Newton).


Afgeleide grootheden:


  • De snelheid (v) van een voorwerp wordt uitgedrukt in meters per seconde (m/s).


  • De versnelling (‘a’ van ‘acceleratie’), d.w.z. de verandering van de snelheid per tijdseenheid (v/t) wordt uitgedrukt in meters per seconde-kwadraat ((m/s)/s = m/s2).


  • De kracht (‘F’ van ‘Force’) die op een voorwerp uitgeoefend wordt, veroorzaakt volgens de wetten van Newton een tegengestelde kracht die bepaald wordt door zowel de traagheid van het voorwerp (samenhangend met de massa m) als de opgewekte versnelling (a) van het voorwerp. Er geldt F = m.a. De kracht wordt uitgedrukt in Newtons (N), volgens N = kg×m/s 2.


  • Bij de verplaatsing van een voorwerp over een bepaalde afstand s, als gevolg van een kracht, wordt energie (E) verricht. Er geldt E = F×s. De energie wordt uitgedrukt in Joules (J), volgens J = N×m = (kg×m/s2)×m = kg×m2/s2.


  • De per tijdseenheid verrichte energie heet het vermogen (‘P’ van ‘Power’). Het vermogen wordt uitgedrukt in Watts (W). Er geldt dus P = E/t, dus W = kg×m2 /s2/s = kg×m2/s.



Weergave grote en kleine eenheden

Getal Code Afkorting Omschrijving
1012 tera T biljoen
109 giga G miljard
106 mega M miljoen
103 kilo k duizend
102 hecto h honderd
101 deca da tien
       
10−1 deci d tiende
10−2 centi c honderdste
10−3 milli m duizendste
10−6 micro μ miljoenste
10−9 nano n miljardste
10−12 pico p biljoenste

 


5.1.1.2(2). Harmonische bewegingen - Enkelvoudige trillingen

Ongedempte trillingen
De meest elementaire vorm van beweging slingering of trilling is de enkelvoudige harmonische beweging. Voorbeelden daarvan zijn de op en neer beweging van een gewicht dat aan een veer hangt (Fig.2a), de heen en weer beweging van een schommel (Fig.2b), de trilling van een snaar van een gitaar en de trilling van een stemvork (Fig.2c). In elk van deze gevallen is er sprake van een beweging rond een rustpositie (de positie bij stilstand) naar twee extremen (respectievelijk naar boven en beneden en naar links en rechts).


Fig.2. Schematische voorstellingen van drie enkelvoudige harmonische bewegingen. Links de periodieke op en neer beweging van een massa, opgehangen aan een veer, in het midden de heen en weer beweging van een schommel rond de ruststand en rechts de trilling van een stemvork.

Wanneer men in Fig.2a op een aantal tijdstippen de positie bepaalt van het gewicht t.o.v. de ruststand (in verticale richting) en deze posities uitzet in een grafiek als functie van de tijd, levert dit een resultaat zoals weergegeven in Fig.3a. Wanneer men vervolgens door de meetpunten een vloeiende lijn trekt ontstaat Fig.2b.


Fig.3. Weergave van de uitwijking van de massa in Fig2a op een aantal tijdstippen (a). In (b) is door deze meetpunten een vloeiende lijn getrokken, de functie x(t) = A sin (2πft + Φ). Figuur ontleend aan Durrant, 1995.

Dit is de functie


x(t) = A sin (2πft + Φ)


Op de websites http://www.natuurkunde.nl/artikelen/view.do?supportId=809440 en http://www.walter-fendt.de/ph14e/springpendulum.htm is te zien dat de beweging van een massa, opgehangen aan een veer, een sinusvormige beweging (trilling) is. Een verzameling animaties op het gebied van de mechanica is te vinden op de website http://www.havovwo.nl/vwo/vna/hyperlink.htm.


De (periodieke) sinusvormige beweging (trilling) ontstaat als gevolg van twee krachten die tegen elkaar in werken. Dit zijn de naar beneden gerichte zwaartekracht op de massa m (Fz) en de naar boven gerichte kracht van de veer (Fx). De uitrekking van een veer is evenredig met de uitrekkende kracht. Er geldt dus, wanneer de luchtweerstand niet meegerekend en het om een ‘ongedempte’ trilling gaat:


m×a = - k×x


Hierin is k de ‘krachtconstante’ die de evenredigheid tussen de twee krachten weergeeft en een maat is voor de stijfheid (stugheid) van de veer. Het - teken geeft aan dat de twee krachten tegen elkaar in werken. De relatie m×a = -k×x heet een ‘bewegingsvergelijking’. Deze kan men algebraïsch oplossen en de oplossing is de genoemde sinusfunctie. De uitwijking van de massa uit de evenwichtstoestand, langs de x-as, wordt gegeven door de sinusfunctie. Het verloop van deze uitwijking, waarbij de kracht die de massa terugdrijft naar de evenwichtsstand evenredig is met de uitwijking van de massa, heet een harmonische (sinusvormige) of enkelvoudige trilling. De massa in Fig.2a kan niet zomaar met elke frequentie trillen. Hij heeft - in dit geval - een ‘natuurlijke’ frequentie, de resonantiefrequentie fr. Uit de bewegingsvergelijking is af te leiden dat geldt:


De formule leert dat wanneer de massa een factor 4 wordt vergroot de resonantiefrequentie een factor 2 kleiner wordt. Een vergroting van de stijfheid van de veer met een factor 4 lever een twee keer zo grote resonantiefrequentie. Het verloop van de uitwijking als functie van de tijd wordt weergegeven door de sinusfunctie in Fig.3b.


De uiterste waarden van de beweging, zijn +A en -A. Deze maximale uitwijking heet de amplitude van de harmonische beweging (trilling). Na een vaste tijd T, ‘periode’ van de trilling genoemd, is de massa is op hetzelfde punt ‘terug’ (het is een periodieke beweging). Omdat een periode T seconden lang is, zijn er 1/T volledige trillingen per seconde. Het aantal trillingen per seconde is de ‘frequentie’ (f) van de trilling. Er geldt dus f = 1/T.


De grootheid (2πft + Φ) wordt de fase genoemd. De grootheid Φ in deze uitdrukking is de beginfase. Die geeft aan waar de trilling ‘start’. In Fig.3 is dat bij Φ = 0. Na telkens een tijd t = T is de grootheid 2πft + Φ met 2π toegenomen (f = 1/T) en gaat de trilling zich herhalen want sin (f) = sin (2π + Φ) = sin (4π + Φ) etc. De fase van de trilling kan zowel uitgedrukt worden in graden (achtereenvolgens 0°, 90°, 180°, 270° en 360°) als in radialen (respectievelijk 0 rad, π/2 rad, π rad, 3π/2 rad en 2π rad). De frequentie van de trilling is onafhankelijk van de amplitude A.


Zoals gezegd is de grootheid (2πft + Φ) in de sinusfunctie een tijdsafhankelijke hoek. Elke keer als (2πft + Φ) met 2π aangegroeid is, na één periode, heeft de sinus weer dezelfde waarde als daarvoor. Waarom die periodiciteit de vorm heeft van een (fase)hoek wordt aannemelijk wanneer we het verband beschouwen tussen een cirkel en een sinus (of cosinus), zoals afgebeeld in Fig.4.


Fig.4. Vorming van een sinusfunctie als een projectie van een ronddraaiende vector op een - in dit geval - verticale lijn op achtereenvolgende tijdstippen, uitgedrukt in de fasehoek Φ. De amplitude (de lengte van de ronddraaiende vector) is A en de momentane uitwijking (de projectie van de vector op de verticale as) is a. De E heeft betrekking op de middenpositie (uitwijking 0). Figuur ontleend aan Durrant, 1995.

In de linker figuur is een pijl (een vector) afgebeeld. We stellen ons voor dat deze met een gelijkmatige (‘eenparige’) snelheid ronddraait, naar links. De sinus nu is te beschouwen als de projectie van de pijl op een verticale lijn. Wanneer die projecties via gestreepte lijnen worden uitgezet als functie van de hoek die de pijl heeft afgelegd ontstaat een sinusfunctie. Een sinusfunctie is fundamenteel een projectie van een cirkelvormige eenparige beweging op een lijn. De lengte van de pijl komt overeen met de amplitude A van de sinusvormige beweging en de hoek die de pijl heeft afgelegd is de fase f van de trilling. De snelheid waarmee de pijl ronddraait heet de ‘cirkelfrequentie’ of ‘hoekfrequentie’ en wordt weergegeven door de letter w. Er geldt:


w = 2π/T = 2πf


Men kan de sinusfunctie van zo-even dus ook schrijven als:


x(t) = A sin (wt + Φ)


De fase van de trilling wordt zowel uitgedrukt in graden (achtereenvolgens 0°, 90°, 180°, 270° en 360°) als in radialen (respectievelijk 0 rad, π/2 rad, π rad, 3π/2 rad en 2π rad).


Op de website http://www.ies-math.com/math/java/trig/graphSinX/graphSinX.html is een mooie animatie te zien van het ontstaan van een sinus als een projectie van een cirkelbeweging op een lijn.


Ook voor de heen en weer beweging van een slinger of schommel (Fig.2b) met massa m en touwlengte l  kan een bewegingsvergelijking opgesteld worden. Wanneer men in Fig.2b op een aantal tijdstippen de positie bepaalt van de schommel t.o.v. de ruststand (nu in horizontale richting) en deze posities uitzet in een grafiek als functie van de tijd, levert dit, aangenomen dat de uitwijking klein is, eenzelfde sinusvormige functie op als in Fig.3. De ruststand, waarbij de uitwijking gelijk is aan 0, bevindt zich nu in het midden. Voor de frequentie van de schommelbeweging (of slingerbeweging) geldt:


Hierin is g de versnelling van de zwaartekracht. Uiteraard neemt de amplitude van de slingering geleidelijk af als gevolg van de wrijving in de lucht.


Een manier om de sinusvormige beweging van een stemvork zichtbaar te maken is op een van de uiteinden een pen te bevestigen en deze pen te plaatsen op een (snel) bewegende strook papier, zoals geschetst in Fig.5. De curve is een mooie golvende (sinusvormige) lijn.


 

Fig.5. Voorbeeld van een trillende stemvork die m.b.v. een pen een sinusvormige beweging op een passerend papier tekent.

 

Fig.6. Afbeelding van een seismograaf. De figuur is bedoeld om te illustreren hoe de trilling in het systeem van de massa en de veer wordt overgedragen op bewegende rol papier (Fig.5). Figuur ontleend aan de website http://www.natuurkunde.nl/artikelen/view.do?supportId=285590

 

Gedempte trillingen
In de beschrijving van de bewegende massa aan een veer werd er vanuit gegaan dat er geen demping was van de beweging of trilling, als gevolg van de wrijving in de lucht. In dat geval gaat de beweging eindeloos door. Wanneer er wél demping is, dus wanneer de weerstand van het omringende medium wordt meegerekend, dooft de trilling geleidelijk uit, hetzij relatief langzaam (Fig.7a), hetzij snel (Fig.7b). De mate van demping heeft geen invloed op de resonantiefrequentie.


Fig.7. Sinusvormige trilling met een relatief kleine demping (a) en een grote demping (b).

In de animatie op de website http://lectureonline.cl.msu.edu/~mmp/applist/damped/d.htm kan men de grootte van de demping variëren en het effect op de trilling bekijken.


Een direct aan de sinusfunctie (Fig.3) verwante functie is de cosinusfunctie


x(t) = A cos (2πft + Φ)

 

De sinusfunctie en de cosinusfunctie hebben dezelfde vorm, maar ze zijn 90° t.o.v. elkaar in fase verschoven (π/2 radialen), zoals afgebeeld in Fig.7. Men zegt ook wel dat de cosinus 90° voorloopt (‘voorijlt’) op de sinus. Op het moment dat de sinus de waarde 0 heeft de cosinus als de maximale waarde. Men kan dus schrijven:


cos (2πft + Φ) =  sin (2πft + π/2 + Φ)

 

Fig.8. Grafische weergave van de functies A sin (2πft) (rood) en A cos (2πft) (blauw).

 

Gedwongen trillingen
Om in de praktijk de demping van een beweging of trilling te compenseren, dus om de trilling ‘aan de gang te houden’ moet energie aan het trillende systeem toegevoegd worden. Men spreekt dan van een ‘gedwongen trilling’. Een dergelijk systeem, van belang in het kader van dit Leerboek, is het middenoorsysteem. Dit systeem heeft een massa, een veer en het vertoont wrijving. Er wordt energie toegevoegd in de vorm van geluid (trilling van de lucht). Algemeen geldt dat het trillende systeem de opgelegde trilling overneemt, maar de mate waarin dit gebeurt hangt - in tegenstelling tot wat we zo-even zagen bij een vrije gedempte trilling - af van de wrijving in het systeem. Wanneer de wrijving klein is, is de resonantiefrequentie scherp bepaald. Is de wrijving groot dan is het frequentiegebied waarin die overname mogelijk is (het resonantiegebied) breed. Deze verbreding gaat echter wel ten koste van de efficiency van de overdracht van de trilling (grotere demping). Deze grotere demping is van toepassing op de overdracht van trillingen in het middenoor.


In een systeem met een massa en een veer dat tot trilling komt zijn er vaste (in de theorie vastgelegde) faserelaties tussen de uitwijking van de massa, de snelheid waarmee de massa beweegt en de versnelling van die massa. Deze faserelaties, die onafhankelijk zijn van de demping in het systeem, zijn weergegeven in Fig.9.


Fig.9. Fases in de (sinusvormige) trilling van een systeem met een massa en een veer voor de uitwijking van de massa, de snelheid waarmee de massa beweegt en de versnelling van die massa. De uitwijking loopt 90° achter op de snelheid. De versnelling loopt 90° voor op de snelheid (π/2 radialen). Uitwijking u en versnelling a zijn dus in tegenfase.

Wanneer de uitwijking u maximaal is (de top van de sinus, neem het voorbeeld van de schommel), staat de beweging op omkeren en is de snelheid v van de massa gelijk aan 0. De snelheid loopt dus 90° voor op de uitwijking (π/2 radialen). Anders gezegd, loopt de uitwijking 90° achter op de snelheid. Wanneer de snelheid v van de massa gelijk is aan 0 is de verandering van de snelheid maximaal in negatieve richting en is dus de versnelling a maximaal negatief. De versnelling loopt dus 90° voor op de snelheid (π/2 radialen). Uitwijking en versnelling a zijn dus in tegenfase. Dit is een fundamentele eigenschap van de trilling van een systeem met een massa en een veer. De trilling die samenhangt met de massa (de versnelling, F=m×a) is in tegenfase met de trilling die samenhang met de stijfheid (de uitwijking, F = -k×x). Het in tegenfase zijn van deze twee categorieën trillingen, samenhangend met de massa en de stijfheid keert terug bij de bepaling van de impedantie, d.w.z. de totale tegenwerking van het middenoorsysteem bij een opgelegde trilling (Hfdst.4.2.1).


 


5.1.1.3(2). Transversale en longitudinale golven

Een lopende golf kan beschouwd worden als een uitbreiding van een trilling in de ruimte, dus b.v. een uitbreiding langs een draad, langs een oppervlak (aardoppervlak, wateroppervlak), of in de ruimte (lucht, water). Een golf wordt opgewekt door een trillende bron (in het algemeen een bewegend voorwerp) en kan alleen ontstaan als de stof in de omgeving van de trillingsbron mee kan bewegen, dus wanneer die stof een zekere mate van elasticiteit heeft.  


Als een trillingsbron beweegt wordt het omringende medium opzij geduwd en worden de deeltjes waaruit die stof bestaat en die tegen dat voorwerp aan zitten dichter op elkaar geperst. Op hun beurt duwen deze hun ‘buren’ opzij. Dit leidt tot een voortschrijden van de verplaatsing van de deeltjes naar binnen in de stof.


Als het voorwerp trilt, en dus om een evenwichtsstand heen en weer beweegt, neemt de druk in het medium direct bij het voorwerp periodiek toe en af. De aangrenzende deeltjes in het medium zullen vervolgens ook heen en weer (gaan) bewegen en dus meetrillen. De heen- en weerbeweging blijft nu niet beperkt tot één plaats, maar wordt overgedragen op de naburige mediumdeeltjes. Op deze wijze ontstaat een ‘weglopende’ trilling, ‘golf’ genoemd. Een mooi voorbeeld van een (oppervlakte)golf is te zien in Fig.10. De golf wordt veroorzaakt door een steen die in het water valt.


Fig.10. Voorbeeld van een golfbeweging veroorzaakt door een steen die in stilstaand water valt. De golf breidt zich in dit geval naar alle kanten uit. Herkomst afbeelding vooralsnog onbekend. Vergelijkbare afbeeldingen op http://cnx.org/content/m13512/latest/ en  http://en.wikipedia.org/wiki/Image:2006-01-14_Surface_waves.jpg.

Wanneer we te maken hebben met een sinusvormige trilling, wordt de beweging van elk deeltje afzonderlijk beschreven worden met de formule:


u(t) = A sin (2πft + Φ)

 

waarin u de uitwijking uit de evenwichtsstand is op tijdstip t, A de maximale uitwijking of amplitude, f de frequentie van de trillende deeltjes, en Φ het faseverschil. Omdat het faseverschil van de trillende deeltjes afhankelijk is van de afstand tot de bron, voeren ze allemaal dezelfde (sinusvormige) beweging uit maar dan wel ná elkaar: dat geeft juist de karakteristieke golfvorm. De snelheid waarmee de golf zich uitbreidt heet de  ‘golfsnelheid’. Deze hangt af van het medium. De golflengte is de afstand tussen twee deeltjes die dezelfde fase hebben, b.v. twee toppen. Bij een voortplantingssnelheid v en een frequentie f geldt voor de golflengte:


λ = v/f

 

Deze formule is als volgt te begrijpen. In één seconde legt een top een afstand v (de grootte van de vector v) af. In T seconden loopt de golf van de ene naar de volgende top (de golflengte λ). Dit komt overeen met een afstand v×T, of, anders geschreven, v×(1/f). Dus λ=v/f.


Een andere manier om het verband tussen een slingering met de vorm van een sinus (in de tijd) en een golvende lijn (over een afstand) kan ook duidelijk gemaakt aan de hand van wat er gebeurt wanneer een lekkende slingerende tankauto over een weg rijdt. Het spoor van de lekkende vloeistof tekent op de weg een golflijn. Als de auto met een snelheid v (m/s) rijdt en slingert met een slingertijd T (s), dan herhaalt de slingerbeweging zich na telkens T seconden. De auto heeft dan v×T meter afgelegd. Deze afstand, waarna de beweging zich herhaalt, heet de golflengte λ van de slingerbeweging.


Er zijn twee basissoorten golven bij mechanische golven:


  1. Transversale golven.
  2. Longitudinale golven.

Bij transversale golven bewegen de deeltjes loodrecht op de voortplantingsrichting van de golf. In een longitudinale golf bewegen de deeltjes in de richting waarin de golf zich uitbreidt. Animaties van de twee typen golven zijn te zien op de websites:
http://www.acs.psu.edu/drussell/demos/waves/wavemotion.html,
http://www.natuurkunde.nl/artikelen/view.do?supportId=74,
http://home.hku.nl/~eelco.grimm/webanimaties.html,
http://www.havovwo.nl/vwo/vna/hyperlink.htm.


Alle deeltjes in de golf voeren dezelfde beweging uit. In beide typen golven gaan de deeltjes niet met de golf mee. Ze bewegen slechts heen en weer rond een evenwichtsstand. Bij een longitudinale golf is dat in de richting waarin de golf zich uitbreidt en bij een transversale golf is die heen en weer beweging loodrecht op de richting van de golf


Longitudinale golven in lucht met frequenties in het gebied van 20 - 20.000 Hz en met voldoende amplitude heten - voor mensen hoorbare - geluidsgolven. De eigenschappen van geluid worden uitvoerig besproken in Hfdst.5.2.1.


 


5.1.1.4(2). Voorbeelden van transversale golven

Oppervlaktegolven in water
Een voorbeeld van een transversale golf was al te zien in Fig.10. De waterdeeltjes trillen in verticale richting, veroorzaakt door de verticale inslag van de steen, terwijl de golf (niet de deeltjes) zich in horizontale richting naar alle kanten uitbreidt.


Transversale golven in een touw (puls)
Een tweede voorbeeld van een transversale golf is de golfbeweging in een touw (Fig.11). Wanneer iemand met het ene uiteinde van een touw een beweging in één richting omhoog (of omlaag) maakt wordt gaat deze slingering zich als een golf door het touw voortbewegen.


Het andere uiteinde van het touw kan ergens aan vast zitten (gefixeerd zijn) of vrij in de lucht hangen (los uiteinde). In beide gevallen kan de bewegingsenergie in het touw niet verder overgedragen worden. Het gevolg is dat de beweging omkeert en terug loopt naar het begin van het touw (reflectie). De wijze waarop dit gebeurt verschilt echter.


Fig.11. Lopende transversale golven in een touw bij een pulsvormige ‘aandrijving’. In (a) is het uiteinde van het touw gefixeerd en daar wordt de golf in tegenfase gereflecteerd. In (b) is het uiteinde vrij (los) en komt de golf in fase terug.

In (a) is het uiteinde van het touw gefixeerd en daar wordt de golf in tegenfase gereflecteerd. In (b) is het uiteinde vrij (los) en komt de golf in fase terug. De twee situaties zijn te zien op http://www.surendranath.org/Applets/Waves/TWaveRefTran/TWRT.html.


Midden in het touw komen de twee golven (hier pulsen) met tegengestelde bewegingsrichting elkaar tegen. Bij het passeren van elkaar treedt een optelling van de uitwijkingen op (Fig.12), ‘superpositie’ genoemd. In Fig.12a, in het geval van het gefixeerde uiteinde, treedt uitdoving op en in Fig.12b, in het geval van het losse uiteinde, versterken de twee golven elkaar in het midden.


Fig.12. Superpositie van in tegengestelde richting lopende (pulsvormige) golven in een touw. Linker gedeelte (a) optelling (superpositie) na reflectie aan een vast uiteinde en rechter gedeelte (b) optelling na reflectie bij een los uiteinde.

Transversale golven in een touw (sinus)
Een derde voorbeeld van een transversale golf is de slingerbeweging in een touw (Fig.13). Wanneer iemand met het ene uiteinde van een touw een (herhaalde) slingerbeweging op en neer maakt wordt gaat ook deze slingering zich als een golf door het touw voortbewegen. De afstand tussen twee opeenvolgende toppen is de golflengte l. Wanneer de snelheid waarmee de golf zich voortplant v is, geldt λ = v/f .


Fig.13. Lopende transversale golf in een touw (slingerbeweging). Er geldt λ =  v/f.

Bij een voortdurende sinusvormige aandrijving zoals in Fig.13 ontvangen de ‘touwdeeltjes’ zowel een uitwijking van de heengaande golf als van de gereflecteerde golf. Die uitwijkingen kunnen elkaar versterken of elkaar verzwakken. Wanneer de bijzondere situatie zich voordoen dat de teruglopende (sinus)golf precies past bij de heengaande golf versterken de uitwijkingen elkaar maximaal en wordt de amplitude van uitwijking twee keer zo groot. In dat geval komen de maxima in de versterkte golf niet van hun plaats en spreekt men van een ‘staande golf’. Dit is het geval als de afstand tussen de uiteinden van het touw (met twee vaste uiteinden) precies gelijk is aan een veelvoud van de halve golflengte van de golf (bij een touw met een vast uiteinde), dus bij de waarden n×λ/2, met n = 1, 2, enz. (zie http://www.surendranath.org/Applets/Waves/TWave02A/TW02A.html). Wanneer deze staande golven optreden in het touw spreekt men van ‘resonantie’. Het touw ‘resoneert’ dan.


Transversale golven in een snaar
Enigszins vergelijkbaar met de staande golven in een touw met een vast uiteinde is een snaar. Een snaar is altijd tussen of over twee vaste punten gespannen. Wanneer een snaar in trilling wordt gebracht ontstaat een patroon van staande golven. In feite is dit het resultaat van twee, van de uiteinden uit tegen elkaar in lopende transversale golven. Bij dit patroon van staande golven is de snaar ‘in resonantie’.


Ook in een snaar kunnen meerdere, aangegeven door het symbool n, patronen van staande golven optreden die voldoen aan de eis dat de uiteinden van de snaar niet bewegen. In de fysica wordt een dergelijke basiseis een ‘randvoorwaarde’ genoemd. In Fig.14 zijn voor één snaar enkele van deze patronen te zien.


Fig.14. Een trillende snaar in de grondvorm ( de eerste harmonische - rood aangegeven), de tweede harmonische (groen) en de derde harmonische (blauw).

Bij n = 1 spreken we van de grondgolf of 1ste harmonische. De snaar trilt dan als een enkele boog op en neer. Bij n = 2 blijft de snaar in het midden in rust en zijn er over de lengte twee bogen te zien die tegen elkaar in trillen. Als de ene omhoog gaat, gaat de ander naar beneden en omgekeerd. Dit patroon heet de 2de harmonische of 1ste boventoon. Voor de 3de harmonische (2de boventoon) zijn er over de lengte drie bogen te zien. In de praktijk zijn een groot aantal trillingspatronen in een trillende snaar aanwezig. Enkele voorbeelden zijn te zien in Fig.15. Let erop dat, behalve in de ‘knooppunten’ (zie verder), elk punt van de snaar in verticale richting trilt (het is een transversale golf) volgens een combinatie van frequenties (grondtoon en hogere harmonischen). Op de website http://zonalandeducation.com/mstm/physics/waves/standingWaves/standingWaves1/StandingWaves1.html kan men het trillen van een snaar zien voor 1ste tot en met de 5de harmonische afzonderlijk en voor alle gewenste combinaties van deze harmonischen. 


Het zal reeds opgevallen zijn dat er bij staande golven in een trillende snaar vaste plaatsen zijn waar de uitwijking minimaal is (in ieder geval de uiteinden) en daar tussen plaatsen waar de uitwijking juist heel groot is. De eerste heten ‘(bewegings)knopen’ (van de staande golf) en de plaatsen met grote uitwijking ‘(bewegings)buiken’. Bij de eenvoudigste trillingsvorm bevindt de (enige) buik zich in het midden van de snaar. De twee naburige knopen zijn te vinden aan de uiteinden van de snaar. Dus:


knoop (beweging nul) – buik (beweging maximaal) – knoop (beweging nul)


Deze trilling komt overeen met de grondtoon, ofwel 1ste harmonische (de ‘rode’ trilling in Fig.14). De snaarlengte l komt bij deze 1ste harmonische overeen met de halve golflengte (n = 1 in de formule n×λ/2).


In het geval van de 2de harmonische (de ‘groene’ trilling in Fig.14) is de volgorde:


knoop buik – knoop – buik – knoop


De snaarlengte komt bij deze 2ste harmonische overeen met een hele golflengte (n = 2 in de formule n×λ/2).


Op dezelfde manier voor de 3de harmonische (de ‘’blauwe’ trilling in Fig.14):


knoop – buik – knoop – buik – knoop – buik – knoop


De snaar bevat nu 1½ golflengte (n = 3). De staande golf in een snaar voor deze 3de harmonische is afgebeeld in Fig.15. Elke knoop en daaropvolgende buik (en elke buik en daaropvolgende knoop) liggen ¼ λ uit elkaar.


Fig.15. Staande golf in een snaar voor de 3de harmonische van de grondtoon.


Zoals reeds opgemerkt kan een snaar trillen in een  samengestelde vorm waarin de grondfrequentie en een aantal boventonen tegelijkertijd een bijdrage leveren. De sterkte verhouding van de componenten is afhankelijk van diverse factoren zoals het materiaal van de snaar, maar vooral ook van de plaats op de snaar waar deze wordt aangestreken) en van de druk van de strijkstok. Ook kunnen er beperkingen zijn voor de uitwijking van de snaar op een bepaalde plaats. In dat geval worden met name de trillingsvormen die daar een buik zouden hebben onderdrukt. De vormen die daar een knoop zouden hebben worden dan niet beperkt.


De snelheid v van de golf is afhankelijk van de kracht F waaronder de snaar of het touw gespannen is en van de massa m per lengte-eenheid van de snaar. De relatie is:


v = √(F/m)


Voor de frequentie fn van de nde harmonische geldt:


fn = n × 1/2 × l × √(F/m)


Afleiding:


Het verband tussen de lengte l van de snaar en de golflengte λ (zie hiervoor) is:


l = n/2 × λ, met n = 1, 2, enz.


Het verband tussen de snelheid v, de frequentie f en de golflengte λ is:


v = λ × f


Dus:


 fn = v/λ = n × 1/2 × l × √(F/m)


Dat wil zeggen dat de frequentie van een staande golfbeweging in een snaar of touw evenredig is met de wortel uit de spanning van de snaar, omgekeerd evenredig is met de lengte van de snaar en ook omgekeerd evenredig is met de wortel van de massadichtheid (massa per eenheid van lengte) van de snaar.


 


5.1.1.5(2). Voorbeelden van longitudinale golven

Lopende geluidsgolven
In een longitudinale golf bewegen de deeltjes in de richting waarin de golf zich uitbreidt. Het bekendste voorbeeld van een longitudinale golf is de geluidsgolf. Een geluidsgolf wordt b.v. opgewekt met een bewegende luidsprekerconus aan het begin van een buis (Fig.16).


Als de conus van links naar rechts wordt bewogen krijgen de deeltjes aan de voorkant ervan (links in de figuur) een beweging naar rechts ‘opgelegd’. Deze deeltjes dragen vervolgens hun beweging over aan de deeltjes in het rechter gedeelte van de figuur. Wanneer de conus trilt, dus heen- en weer beweegt van links naar rechts en terug, gaan de deeltjes ook heen en weer bewegen, eerst weer de deeltjes aan de linkerkant van de figuur en vervolgens die daarnaast enz. Deze heen- en weerbeweging leidt ertoe dat op elke plaats de deeltjes in voortdurende opeenvolging korte tijd dichter bij elkaar komen en verder van elkaar vandaan raken. Anders gezegd, op elke plaats treedt periodiek een drukverhoging (verdichting) en een drukverlaging (verdunning) op. Fig.16 is de weergave van een momentopname uit de heen- en weerbewegingen. Rondom elke verdichting is een verdunning aanwezig, want de deeltjes moeten ergens vandaan komen. De verdichtingen en verdunningen bewegen naar rechts wanneer men één bepaalde verdichting of verdunning volgt. Elk afzonderlijk deeltje echter blijft - trillend - op zijn plaats en maakt daar kleine heen- en weerbewegingen. Op de website http://www.acs.psu.edu/drussell/demos/waves/wavemotion.html is de wijze waarop de longitudinale golf tot stand komt goed te zien, zowel de voortbeweging van de verdichtingen en verdunningen naar rechts als de aan een vaste plaats gebonden trilling van de afzonderlijk deeltjes (maak een spleetje met twee papiertjes en je ziet dat de deeltjes alleen maar heen en weer bewegen en niet met de golf meebewegen).


Fig.16. Weergave van het effect van een bewegende luidsprekerconus op de posities van de luchtdeeltjes in een buis op een bepaald moment. Figuur ontleend aan Rodenburg, 1995. Animaties zijn te vinden op http://physics.nad.ru/ en http://www.acs.psu.edu/drussell/demos/waves/wavemotion.html.

De tijd die een trilling nodig heeft voor één cyclus van verdichting en verdunning heet de trillingstijd T. Het aantal trillingen per seconde, de frequentie f van de trilling, is gelijk aan 1/T en wordt uitgedrukt in Hertz (Hz). De vierde belangrijke grootheid in dit verband is de voortplantingssnelheid van de golf, aangegeven met de letter ‘v’. Aangezien de trilling in de periodetijd T één golflengte opschuift geldt: v = λ/T (of v = λ × f).


Wat er precies gebeurt kan ook op een andere manier uitgelegd worden. Wanneer men op opeenvolgende tijdstippen binnen een periode (0, ¼T, ½T, ¾T en T) - hypothetische - foto’s zou maken van het patroon van de luchtdeeltjes uit Fig.16 dan zou dat een vijftal opnames opleveren, van boven naar beneden geschetst in Fig.17. Omdat het een periodieke trilling betreft is de situatie in de onderste strook gelijk aan die in de bovenste.


Midden in de bovenste strook bevindt zich - op het weergegeven moment - een verdichting. Vanaf die plaats en vanaf dat moment beweegt de helft van de deeltjes zich naar rechts (weergegeven door het rode bolletje) en de andere helft naar links (het blauwe bolletje). Een verdichting wordt immers gevolgd door een verdunning. Naar beneden toe kan men de beweging van de twee deeltjes volgen, eerst uit elkaar en daarna weer naar elkaar toe tot de oorspronkelijk posities. Het rechter deeltje beweegt rond de gemiddelde positie aangegeven door de rode verticale lijn en het linker deeltje beweegt rond de positie aangegeven door de blauwe verticale lijn. Halverwege, bij ½T, bevinden de deeltjes zich het verst uit elkaar en zien we in het midden van de strook een verdunning.


De verdichtingen en verdunningen bewegen dus naar rechts wanneer men één bepaalde verdichting of verdunning volgt. Elk afzonderlijk deeltje echter blijft - trillend - op zijn plaats. Het principe van een lopende longitudinale golf is ook te zien op de website http://www.havovwo.nl/vwo/vna/hyperlink.htm.


Fig.17. Opeenvolgende (van boven naar beneden) verdichtingen en verdunningen over een bepaalde afstand (van links naar rechts) van luchtdeeltjes bij een geluidsgolf gegenereerd door een sinusvormige beweging van de conus van een luidspreker. Het rode en blauwe bolletje geven – van boven naar beneden - de heen- en weerbeweging van twee afzonderlijke luchtdeeltjes weer rond respectievelijk de rode en de blauwe lijn. Figuur gemodificeerd naar Rodenburg, 1995.

Staande longitudinale golven
Net zoals bij de transversale golven kan aan het eind van buis zoals in Fig.16 (aan de rechter kant) reflectie van de lopende longitudinale golf optreden. De buis kan daar afgesloten zijn of open. De vorm van de reflectie is verschillend in deze twee gevallen, net zoals bij het gefixeerde en het losse uiteinde van het touw. Wanneer de buis aan de rechterzijde gesloten is treedt bij reflectie daar een omkering van de fase van de golf op, net zoals bij de transversale golf aan het gefixeerde uiteinde van het touw. Enkele mogelijke staande golven in deze gesloten buis zijn weergegeven Fig.18.


Fig.18. Staande geluidsgolven (longitudinale golven) in een aan één zijde gesloten buis. De plaatsen van de buiken (B) en de knopen (K) zijn aangegeven. Het betreft hier de bewegingsbuiken en bewegingsknopen. Figuur deels ontleend aan Durrant, 1995.

Aan het gesloten uiteinde (rechts in de figuur) de beweging (snelheid) van de deeltjes minimaal, als gevolg van de fase omkering. Daar heeft de staande golf een (bewegings)knoop. Aan de ‘open’ zijde, waar de conus zich bevindt, kunnen de luchtdeeltjes gemakkelijk bewegen. Daar bevindt zich een (bewegings)buik. Bij de laagste trillingsfrequentie, dat is altijd de resonantiefrequentie f0, komt de lengte van de buis overeen met ¼λ0. De eerstvolgende passende staande golf is 3f0 en de daaropvolgende 5f0. De situatie voor f0 is te zien op http://www.walter-fendt.de/ph14e/stlwaves.htm (buis aan één kant open, figuur gespiegeld). In dit type buis passen dus alleen oneven harmonischen, de 1ste (grondtoon f0), de derde harmonische f3, de vijfde harmonische f5 enz.


Bij de beschouwingen over trillingen in het voorafgaande is steeds uitgegaan van de beweging van de (trillende) deeltjes. Een buik in de staande golf is dan een plaats waar de amplitude van de beweging maximaal is en een knoop de plaats waar de amplitude minimaal. Echter, wanneer de amplitude van de beweging maximaal is, moet de (geluids)druk minimaal zijn en, omgekeerd, impliceert een minimale beweging een maximale druk. Een bewegingsknoop (b.v. bij een transversale trilling aan het eind van een snaar of bij een longitudinale trilling tegen een harde wand) valt dus samen met een drukbuik, en omgekeerd. De twee beschouwingen leiden tot dezelfde uitkomsten.


Een andere categorie buizen wordt gevormd door de ‘orgelpijpen’, onderverdeeld in ‘lip- of labiaalpijpen’ en ‘tongpijpen’. Bij een labiaalpijp (Fig.19a) ontstaat in de pijp, als gevolg van de scherpe bovenlip, een wervelende luchtstroming. Aan het open uiteinde treedt reflectie op, maar zonder faseomkering, net zoals bij de transversale golf in het touw met het ‘losse’ uiteinde (Fig.11b). Daar bevindt zich dus een buik. Aan het begin bij de bovenlip treedt, in tegenstelling tot de situatie in Fig.11b, eveneens een buik op. Daar tussenin bevindt zich een knoop. De staande geluidsgolven die in deze ‘open labiaalpijp’ optreden zijn geschetst in Fig.19b. In deze open pijp zijn in principe alle harmonische van de grondfrequentie aanwezig. De onderlinge sterktes hangen af van de vorm van de pijp.


Fig.19. Voorbeeld van een open labiaalpijp (a) en weergave van de staande golven die hierin optreden (b). Figuur deels ontleend aan Durrant, 1995.

Behalve open orgelpijpen bestaan er ‘gesloten orgelpijpen’. In feite is dat de situatie die in Fig.18 te zien is. Deze pijpen vormen dus alleen de oneven harmonischen. Verder klinkt, wanneer men een aangeblazen open orgelpijp aan het uiteinde afsluit met de hand, de toon een octaaf lager. Dit komt omdat, bij dezelfde lengte L van de pijp de golflengte van de grondtoon twee keer zo groot wordt (eerst 2λ en daarna 4λ). De frequentie wordt dus twee keer zo klein (λ = v/f ). Vergelijk Fig.18 en Fig.19.


Een geheel andere geluidsproductie is aanwezig in de ‘tongpijp’ (Fig.20). Bij een geschikte geluidsdruk in de ‘stevel’ gaat de ‘tong’ klapperen tegen de ‘lepel’. Daardoor wordt de pijp (rood aangegeven in (a)) periodiek afgesloten. Iedere keer als de tong terugveert wordt er een ‘luchtprop’ de pijp in geslingerd. Dit proces is vergelijkbaar met wat er in stembanden gebeurt bij de vorming van het basisgeluid van de spraak.


Elke luchtprop vormt een staande golf. Omdat de onderkant van de pijp op het moment dat de luchtprop de pijp in wordt geslingerd gesloten is, vormt zich daar een knoop. Aan het open uiteinde van de beker vormt zich een buik. De mogelijke staande golven zijn geschetst in (b). Het betreft hier de oneven harmonischen, f0, 3f0, 5f0, met f0 als grondtoon (1ste harmonische).


Men dient hier te bedenken dat de toonhoogte van de tongpijp bepaald wordt door de lengte en de materiaaleigenschappen van de tong. Dit is dus anders dan bij de labiaalpijp, waar de toonhoogte bepaald wordt door de lengte van de pijp. De vorm van de tongpijp (de beker) dient ervoor om de grondfrequentie voldoende sterkte te geven en het gewenste timbre te bereiken. Zou men b.v. de beker te kort maken dan kan de grondfrequentie, die overeenkomt met de trillingfrequentie van de tong, zich onvoldoende ontwikkelen en zou de pijp veel te scherp klinken.


Fig.20. Voorbeeld van een tongpijp en weergave van de staande golven die hierin optreden
(a) Schets van een tongpijp
(b) Schematische doorsnede
(c) Schematische doorsnede met het werkelijke pijpgedeelte daarin in rood geaccentueerd
(d) Staande golven die optreden
Figuur ontleend aan van Gestel, 2003.

 


5.1.1.6(2). Links

Algemeen
http://www.let.uu.nl/~Gerrit.Bloothooft/personal/onderwijs/ExpTaalkunde/werkboekPracticumFonetiek2004.pdf
Werkboek ‘Inleiding in de Fonetiek’ van de studierichting ‘Fonetiek’ (Opleiding Taalwetenschap) van de Universiteit Utrecht (auteur G. Bloothooft).


Mechanica - Massa aan een veer - Sinusvormige beweging
http://www.natuurkunde.nl/artikelen/view.do?supportId=809440 en
http://www.walter-fendt.de/ph14e/springpendulum.htm - Beweging van een massa, opgehangen aan een veer.
http://www.havovwo.nl/vwo/vna/hyperlink.htm - Verzameling animaties.
http://www.natuurkunde.nl/artikelen/view.do?supportId=285590 - Afbeelding van een seismograaf.
http://www.ies-math.com/math/java/trig/graphSinX/graphSinX.html - Animatie van het ontstaan van een sinus als een projectie van een cirkelbeweging op een lijn.
http://lectureonline.cl.msu.edu/~mmp/applist/damped/d.htm - Effect van de grootte van de demping op de trilling.


Transversale en lopende golven
http://www.acs.psu.edu/drussell/demos/waves/wavemotion.html
http://www.natuurkunde.nl/artikelen/view.do?supportId=74
http://home.hku.nl/~eelco.grimm/webanimaties.html
http://www.havovwo.nl/vwo/vna/hyperlink.htm
http://www.surendranath.org/Applets/Waves/TWaveRefTran/TWRT.html
http://www.surendranath.org/Applets/Waves/TWave02A/TW02A.html).
http://www.acs.psu.edu/drussell/demos/waves/wavemotion.html
http://physics.nad.ru/
http://www.walter-fendt.de/ph14e/stlwaves.htm


 


Literatuur

  1. Beranek, LL. ‘Concert and Opera Halls. How They Sound’. ASA-AIP Press, Woodbury NY, 1996.
  2. Durrant JD, Lovrinic JH. ‘Bases of Hearing Science’. The Williams & Wilkins Company, Baltimore, 1995, 3rd edition, 1995. ISBN 0683027379.
  3. French AP. ‘Vibrations and waves’. Chapman & Hall, 1971.
  4. Van Gestel C. ‘Orgelrijk’. Uitgeverij Aprilis, Zaltbommel, 2003.
  5. Harris CM. ‘Absorption of Sound in Air versus Humidity and Temperature’. J Acoust Soc Am 1966;40:148-159.
  6. Minnaert. ‘De Natuurkunde van het Vrije Veld’
  7. Moore, BCJ. ‘Hearing’. Academic Press, San Diego, 1995.
  8. Nooteboom SG, Cohen A. ‘Spreken en Verstaan - Een inleiding tot de experimentele fonetiek’. Van Gorcum, Assen, Amsterdam, 1984.
  9. Rodenburg M. ‘Geluid’. Lemma BV, Utrecht, 1995.
  10. Roederer JG. ‘The Physics and Psychophysics of music’ Psychophysics of music, 3rd ed. Springer Verlag 1995.
  11. Rossing TD, Moore F, Wheeler PA. ‘The science of Sound’, 3rd Ed. Addison-Wesley, 2002.
  12. Slis, IH. ‘Audiologie - ‘Horen in een wereld van geluid’. Dick Coutinho, Bussum, 1996.

© NVA leerboek 2000-2017 Privacy | Disclaimer | Copyright | Statistieken | Webredactie