Audiologieboek
Home  |   NVA  |   Print deze pagina  |    |     
 Titel: 5.3.1(2). Signalen - Wiskundige beschrijving en analyse
 Auteur: Lamoré
 Revisie: 2007

Bij het schrijven van dit hoofdstuk is gebruik gemaakt het werkboek ‘Inleiding in de Fonetiek’ van de studierichting ‘Fonetiek’ (Opleiding Taalwetenschap) van de Universiteit Utrecht (auteur G. Bloothooft) en van het basismateriaal voor de lessen aan de opleiding voor audiologieassistent zoals dat wordt gebruikt door B. Franck (Universiteit Utrecht, afdeling KNO).


In dit hoofdstuk bevinden zich enkele  onderdelen van paragrafen die beter op hun plaats zouden zijn in niveau 3. Omdat deze onderdelen niet op zichzelf staan, maar passen in de lijn van het hoofdstuk, zijn ze in niveau 2 gehandhaafd, maar is de tekst in een kleiner lettertype weergegeven.


Inhoud:

5.3.1.1(2). Inleiding

5.3.1.2(2). Categorieën van signalen

5.3.1.3(2). Bewerking en beschrijving van signalen

5.3.1.4(2). Amplitudemodulatie en frequentiemodulatie

5.3.1.5(2). Fourieranalyse

5.3.1.6(2). Vervorming

5.3.1.7(2). Links

5.3.1.8(2). Bijdragen

 

5.3.1.1(2). Inleiding

Geluid ontstaat doordat de trillingen van een geluidsbron, zoals de conus van een luidspreker of de menselijke stem, overgedragen worden op de omringende lucht. Deze overdracht heeft tot gevolg dat er kleine wisselingen in de luchtdruk ontstaan. De luchtdeeltjes worden afwisselend dichter op elkaar gedrukt en verder uit elkaar getrokken rond een gemiddelde positie en de trilling wordt doorgegeven aan de verderop gelegen deeltjes. Om metingen te verrichten aan geluid (b.v. het bepalen van de sterkte van de trilling), om geluid te bewerken (b.v. het uitfilteren van de hoge frequenties) of om geluid op te slaan, worden de trillingen via een microfoon omgezet in elektrische signalen. De eigenschappen van deze signalen vormen de leerstof van dit hoofdstuk. Het gaat dus in dit kader om ‘geluidssignalen’, maar de te bespreken eigenschappen zijn in de meeste gevallen van toepassing op alles wat trilt.


De weergave van een geluid als elektrisch signaal, na registratie met een microfoon, heet ‘oscillogram’. Fig.1 geeft het oscillogram van een stukje spraak. Horizontaal staat de tijd uitgezet en verticaal de grootte van het (elektrische) signaal. Dit varieert voortdurend van grootte tussen positieve en negatieve waarden van de elektrische spanning.


Geluiden (signalen) kunnen grofweg onderscheiden worden in periodieke en niet-periodieke geluiden (signalen). Een signaal is periodiek als de golfvorm binnen het signaal (de registratie van het geluid als functie van de tijd) zich steeds herhaalt. Dit is het geval in de linker uitvergroting in Fig.1 (een stukje van een klinker). Een periodiek signaal klinkt tonaal. Het kan ‘hoger’ en ‘lager’ klinken. Het signaal in de rechter uitvergroting in Fig.1 is niet-periodiek en klinkt ruisachtig. Het betreft hier een stemloze medeklinker, de /s/.


Fig.1. Twee uitvergrotingen (onder) van de golfvorm van een spraaksignaal (boven),van een periodiek (links) en een niet-periodiek (rechts) fragment. Figuur (gemodificeerd) ontleend aan werkboekPracticumFonetiek2004.pdf .

 


5.3.1.2(2). Categorieën van signalen

Enkelvoudige (periodieke) signalen als functie van tijd


Het signaal dat het eenvoudigst is om te beschrijven, is de sinus. Het is een kunstmatig signaal, b.v. geproduceerd door een audiometer of stemvork. De vorm komt overeen met die van de functie y = sin(x). Fig.2 laat twee oscillogrammen van stukjes uit sinusvormige signalen zien, één voor een frequentie van 200 trillingen per seconde (200 Hz) en één voor 400 Hz. Het is direct duidelijk dat, bij gebruik van dezelfde tijdschaal, de slingeringen voor de hogere frequentie dichter bij elkaar liggen dan bij voor de lagere frequentie. De tijdsduur van één slingering heet periode en wordt aangegeven met de letter T. Het verband tussen de periode T (ook trillingstijd genoemd) van een sinusvormig signaal en de frequentie (f) is f = 1/T.


Fig.2. Stukjes uit oscillogrammen van sinusvormige signalen y(t) = A sin (2πft), met frequenties (f) van respectievelijk 200 Hz en 400 Hz. De periode (T) komt overeen met 1/f, dus met respectievelijk 5 en 2.5 ms. Figuur (gemodificeerd) ontleend aan werkboekPracticumFonetiek2004.pdf.


Een enkelvoudig geluidssignaal wordt in het algemeen beschreven door de sinusfunctie:


y(t) = A sin (2πft + Φ)

met daarin, naast de eerder genoemde frequentie ‘f’ en amplitude ‘A’ de fase ‘Φ’.


De frequentie van een enkelvoudig signaal is het aantal perioden per seconde. Duurt b.v. een periode 2 ms (0.002 s), zitten er 1/0.002 = 500 perioden in een seconde. De frequentie is dus 500 Hz (f = 1/T).


De amplitude (A) is de maximale uitwijking van de golfvorm ten opzichte van de ruststand, dus in dit kader de maximale afwijking van de geluidsdruk ten opzichte van de gemiddelde luchtdruk. In Fig.3. zijn twee signalen met verschillende amplitudes weergegeven.


Fig.3. Stukjes uit sinusvormige signalen y(t) = A sin (2πft) met verschillende amplitudes A, respectievelijk 3 en 1.5 mV. Figuur (gemodificeerd) ontleend aan werkboekPracticumFonetiek2004.pdf.

De fase (Φ) betreft de verschuiving van golven ten opzichte van elkaar in de tijd. De ene golf kan eerder of later beginnen dan de andere. De fase wordt meestal uitgedrukt in het gedeelte van de periode die de golf al heeft afgelegd, t.o.v. een referentie, hetzij in graden (0°-360°), hetzij in radialen (0-2π). De waarden 360° en 2π komen overeen met één periode. In Fig.4 loopt het rechter signaal een kwart periode vóór op het linker. De faseverschuiving van het rechter signaal bedraagt dus ½ π radialen of 90°. Bij een faseverschuiving van 360° (2π) krijgt men het oorspronkelijke signaal terug.


Fig.4. Stukjes uit sinusvormige signalen y(t) = A sin (2πft + Φ), met verschillende fases Φ, respectievelijk 0° en 90° (0 en ½π radialen). Figuur (gemodificeerd) ontleend aan werkboekPracticumFonetiek2004.pdf.

Voor enkelvoudige geluidsignalen geldt dat de drie grootheden frequentie, amplitude en fase elk een perceptief correlaat hebben. De frequentie is gekoppeld aan de toonhoogte van het geluid en de amplitude is bepalend voor de luidheid. Voor statische faseverschillen tussen enkelvoudige geluiden is het gehoor niet gevoelig. Voor dynamische verschillen en voor complexe geluidsignalen zijn de relaties veel ingewikkelder. De manier waarop de fysische sterkte van geluiden wordt bepaald (de decibelschaal) wordt besproken in Hfdst.5.2.2.


Enkelvoudige (periodieke) signalen als functie van de frequentie
In Fig.2, 3 en 4 zijn oscillogrammen van sinusvormige signalen te zien. Deze signalen zijn weergegeven als functie van de tijd. Een periodiek signaal kan echter ook weergegeven worden als functie van de frequentie. Een dergelijke weergave heet een ‘spectrum’. Fig.5 laat de spectra zien van de twee sinussen uit Fig.2. Langs de horizontale as staat de logaritme van de frequentie (f) uitgezet (dit is gebruikelijk). Verticaal staat de sterkte van het signaal weergegeven. In de meeste gevallen wordt dit uitgezet in dB (zoals ook in Fig.50), maar de eenheid varieert.


In spectra van periodieke signalen met meerdere - afzonderlijke - frequentiecomponenten (‘discrete’ spectra genoemd, zoals in Fig.6), worden de (effectieve waarden van de) amplitudes van de componenten uitgezet, uitgedrukt in dB. Vaak wordt daarbij geen fysische referentie vermeld, b.v. wanneer het spectrum alleen bedoeld is om de verhoudingen in de sterkte van de componenten weer te geven (dB arbitrair). Soms wordt de verzwakking (in dB) van de componenten t.o.v. de grondfrequentie genoteerd. Ook in spectra van ruis (‘continue’ spectra) staat verticaal vaak de effectieve waarde van de amplitude uitgezet. Dergelijke weergaven heten ‘amplitudespectra’. Bij spectra van ruis daarentegen wordt verticaal soms de ‘energiedichtheid’ uitgezet, d.w.z. de hoeveelheid energie in dB, per Hertz bandbreedte, met als referentie de (Iref = 10-12 W/m2). Deze energiedichtheid heet ‘spectraal niveau’ (in het Engels: ‘spectrum level’). In het vervolg van dit hoofdstuk worden, tenzij anders vermeld, amplitudespectra weergegeven.


Fig.5. Amplitudespectra van twee even sterke periodieke signalen, met frequenties van respectievelijk 200 Hz en 400 Hz. Figuur (gemodificeerd) ontleend aan werkboekPracticumFonetiek2004.pdf.

Meer algemeen geldt voor samengestelde periodieke geluidssignalen dat het spectrum de weergave is van alle frequenties en bijbehorende amplitudes die in het signaal aanwezig zijn. Ook niet-periodieke signalen kunnen als spectrum weergegeven worden. Dit wordt verderop in dit hoofdstuk besproken.


Samengestelde periodieke signalen
Signalen die niet sinusvormig zijn maar wel periodiek heten samengestelde periodieke signalen. Alle samengestelde periodieke signalen kunnen beschreven worden als de som van een aantal sinussen. Dit verband is ontdekt door de Franse wiskundige, J.B.J. Fourier (1768-1830). De samenstellende sinussen heten de frequentiecomponenten of deeltonen van die (samengestelde) signalen.


Fig.6 geeft een voorbeeld van een samengesteld periodiek signaal, verkregen door optelling van drie componenten (deeltonen) met frequenties 100 Hz, 200 Hz en 400 Hz. Let erop dat de frequentie waarmee de golfvorm van het samengestelde signaal zich herhaalt (de herhalingsfrequentie), in dit geval identiek is aan de frequentie van de laagste component, die van 100 Hz.


Fig.6. Sinusvormige signalen met frequenties van respectievelijk 100 Hz (relatieve amplitude 0.5), 200 Hz (amplitude 0.3) en 400 Hz (amplitude 0.2), en het somsignaal van deze drie (een samengesteld periodiek signaal). Links staan de oscillogrammen en rechts de spectra. Figuur (gemodificeerd) ontleend aan werkboekPracticumFonetiek2004.pdf.

Samengestelde periodieke (geluids)signalen worden ‘harmonische signalen’ genoemd als de frequenties van de samenstellende deeltonen zich verhouden als gehele getallen. De deeltonen worden samen aangeduid met de term ‘harmonischen’. Zijn de frequenties van de verschillende deeltonen in een samengestelde geluidssignaal veelvouden van de frequentie van de laagste component (reeks 200 Hz, 400 Hz, 600 Hz, 800 Hz etc.) dan heet de laagste component de ‘grondtoon’ (f0) van dat geluid. De componenten met hogere frequenties in dat geluid heten ‘boventonen’. De grondtoon is de eerste harmonische, de eerste boventoon is de tweede harmonische etc. Een samengesteld periodiek geluid kan harmonisch zijn zonder dat een grondtoon aanwezig is, zoals in het geval van een geluid bestaande uit de componenten 300 Hz, 400 Hz en 500 Hz. De periodiciteit komt dan overeen met die van de grootste gemene deler van dit drietal (100 Hz → 10 ms). De eigenschappen van een samengesteld (geluids)signaal worden bepaald door de amplitudes, frequenties en fases van de samenstellende sinussen.


De wijze waarop een samengestelde periodieke golfvorm beïnvloed wordt door de fase van een component is geïllustreerd in Fig.7. Afgebeeld zijn signalen die bestaan uit twee componenten, in de linker kolom met een frequentieverhouding 1:2, in de middelste kolom met een verhouding 1:3 en in de rechter kolom met een verhouding 2:3. Deze aanzienlijke vormveranderingen, als gevolg van veranderingen in fase, leiden slechts tot beperkte klankveranderingen. Bij ingewikkelder periodieke signalen hoort men al helemaal geen klankverschillen wanneer de fase van een component gewijzigd wordt, althans in statische situaties wanneer men het ene geluid met het andere vergelijkt.


Fig.7. Illustratie van de wijze waarop een samengestelde periodieke golfvorm beïnvloed wordt door de fase van een component. Afgebeeld is een signaal dat bestaat uit twee componenten met een frequentieverhouding 1:2, zoals sin (2πft) + sin (4πft + Φ). De waarde van Φ is respectievelijk 0°, 90°, 180° en 270°.

Ruis
‘Ruis’ is een signaal waarbij de amplitude op een bepaald moment geheel of grotendeels bepaald wordt door het toeval. Ruis bevat dus geen periodiciteit. In Fig.1 was reeds een voorbeeld (oscillogram) te zien. Ook ruis heeft een spectrum, want meestal leveren meerdere frequenties een bijdrage aan de amplitudevariaties. Echter, omdat ruis sterk fluctueert, betreft het hier een gemiddeld spectrum. Terwijl bij periodieke signalen het spectrum afzonderlijke (‘discrete’) componenten bevat, geeft een ruisspectrum de gemiddelde verdeling van de frequenties over het frequentiegebied. Het wordt daarom ook ‘continu spectrum’ genoemd.


Ruis klink meestal niet ‘tonaal’ Toch kan in speciale gevallen in ruis een tonaliteit (‘kleuring’) optreden. Zie hiervoor Hfdst.2.4.1. Anderzijds kunnen periodieke signalen wel ruis bevatten. Ze klinken dan ‘ruisachtig’.


De twee in de audiologie meest gebruikte soorten ruis zijn ‘witte ruis’ en ‘roze ruis’. Deze worden besproken aan het eind van de volgende paragraaf (Par.3) van dit hoofdstuk.


 


5.3.1.3(2). Bewerking en beschrijving van signalen

Filters
Het is mogelijk een signaal door een apparaat te sturen dat slechts een deel van het spectrum van dat signaal doorlaat. Een dergelijk apparaat heet een ‘filter’. Bij het analyseren van geluid wordt veelvuldig gebruik gemaakt van filters.


Er zijn vier basale typen filters. Die verschillen wat betreft ‘frequentiekarakteristiek’ (‘doorlaatkarakteristiek’). Een frequentiekarakteristiek van een filter geeft weer welke frequenties door een filter worden doorgelaten en welke frequenties worden verzwakt (en hoeveel). De vier typen filters zijn:


  1. Laagdoorlaatfilters (hoog-af filters)
  2. Hoogdoorlaatfilters (laag-af filters)
  3. Band(doorlaat)filters
  4. Bandstopfilters

Ten eerste zijn er filters die lage frequenties doorlaten, en hoge frequenties verzwakken. Dit zijn ‘laagdoorlaatfilters’ (‘Low-Pass’ filters), zoals afgebeeld in Fig.8a.


Fig.8a. Frequentiekarakteristiek van een laagdoorlaatfilter (‘Low-Pass’ filter) met een afsnijfrequentie fc.
Fig.8b. Frequentiekarakteristiek van een hoogdoorlaatfilter (‘High-Pass’ filter) met een afsnijfrequentie fc.
Figuren ontleend aan Durrant and Lovrinic, 1995.

Ten tweede zijn er filters die hoge frequenties doorlaten, en lage frequenties verzwakken. Dit zijn ‘hoogdoorlaatfilters’ (‘High-Pass’ filters), zoals afgebeeld in Fig.8b.


Ten derde zijn er filters die een bepaald frequentiegebied doorlaten, en frequenties buiten dit gebied verzwakken. Dit zijn banddoorlaatfilters (‘Band-Pass’ filters), zoals afgebeeld in Fig.9a.


Fig.9a. Frequentiekarakteristiek van een banddoorlaatfilter (‘Band-Pass’ filter) met een bandbreedte van fcL tot fcH
Fig.9b. Frequentiekarakteristiek van een bandstop-filter (notch filter) met een bandbreedte van fcL tot fcH
Figuren ontleend aan Durrant and Lovrinic, 1995.

Ten vierde zijn er filters die een bepaald frequentiegebied verzwakken, en frequenties buiten deze stopband doorlaten. Dit zijn ‘bandstopfilters’ (‘banduitzeef’ filters, ‘Band Reject’ filters, of ‘notch’ filters), zoals afgebeeld in Fig.9b.


Filterkenmerken
Een filter wordt gekarakteriseerd door twee eigenschappen, namelijk de afsnijfrequentie en de helling. Banddoorlaat- en bandstopfilters worden mede gekarakteriseerd door hun bandbreedte. Hieronder worden deze begrippen toegelicht.


De afsnijfrequentie is een maat voor de plaats van de overgang tussen het doorgelaten en het afgezwakte deel van het spectrum. De afsnijfrequentie wordt gemeten op het punt waar het spectrale niveau van het doorgelaten deel en afgezwakte deel 3 dB verschillen. Dit wordt ook wel het ‘-3 dB punt’ genoemd. Zie ook de figuren 8 en 9.


De helling is een maat voor de scherpte van de overgang tussen het doorgelaten en het afgezwakte deel van het spectrum. Deze wordt uitgedrukt in decibel per octaaf. Een helling van -12 dB/octaaf wil zeggen dat bij een laagdoorlaatfilter de amplitude van het uitgangssignaal 12 dB zwakker wordt bij een verdubbeling van de frequentie van het ingangssignaal. Bij een hoogdoorlaatfilter met dezelfde helling wordt de amplitude van het uitgangssignaal 12 dB sterker, bij een verdubbeling van de frequentie van het ingangssignaal. Een opgegeven helling geldt altijd voor frequentiegebieden dicht bij de afsnijfrequenties. Daar zijn de hellingen het best gedefinieerd.


Banddoorlaat- en bandstopfilters worden gekarakteriseerd door hun bandbreedte en hun ‘centrale frequentie’ (CF). De bandbreedte is de grootte van het frequentiegebied dat door een filter wordt doorgelaten, respectievelijk tegengehouden. Dit gebied wordt gespecificeerd door middel van de twee afsnijfrequenties. De ‘centrale frequentie’ geeft het ‘midden’ aan van het betreffende frequentiegebied.


Meestal wordt een bandfilter gekarakteriseerd door de ‘relatieve bandbreedte’. Dit is de verhouding van de beide grensfrequenties. De bandbreedte wordt ook wel uitgedrukt door middel van een muzikaal interval, zoals octaaf en terts. Deze conventie wordt verduidelijkt door uit te gaan van een bandfilter met een lage afsnijfrequentie f1 en een hoge afsnijfrequentie f2. Voor de relatieve bandbreedte en de centrale frequentie van het filter geldt dan het volgende:


  • De bandbreedte wordt uitgedrukt in octaven via de formule f2/f1 = 2ⁿ, waarbij n het aantal octaven aangeeft. De relatieve bandbreedte van een bandfilter met grensfrequenties van 600 en 1200 Hz is dus een octaaf. Hetzelfde geldt voor een bandfilter met grensfrequenties van 1000 en 2000 Hz. Hieruit blijkt dat de absolute bandbreedtes kunnen verschillen, terwijl de relatieve bandbreedte steeds één octaaf bedraagt. Beide filters zijn ‘octaafbandfilters’. Een veelgebruikt filter is het ‘derde-octaaf-filter’, ook ‘tertsbandfilter’ genoemd, omdat de toonsafstand van een terts overeenkomt met 1/3 octaaf. In dat geval geldt :
  • De centrale frequentie van het filter is gelijk aan √(f1xf2)

Gebruik van het begrip bandbreedte voor de beschrijving van signalen
Het begrip bandbreedte wordt ook gebruikt om de spectrale breedte van signalen en geluiden te karakteriseren. Een bekend voorbeeld is de beschrijving van de formanten. Zie ook Hfdst.10.1.2(2). Fig.10 geeft de spectrale omhullende van de klinker /a/ uitgesproken door een vrouw.


Fig.10. Spectrum van de klinker /a/ uitgesproken door een vrouw, met daarbij gestippeld de omhullende van het spectrum en aangegeven de eerste drie formanten.

De drie pieken zijn respectievelijk de eerste, de tweede en de derde formant. Elke formant heeft een bepaalde spectrale breedte. Deze breedte is gedefinieerd als de grootte van het frequentiegebied dat de formant bestrijkt op een spectraal niveau 3 dB beneden het maximale niveau. De frequentie van het maximum is de formantfrequentie (Fig.11).


Fig.11. Spectrale omhullende van een formant, met daarbij aangegeven de piekfrequentie (F) en bandbreedte (B) van de formant. Figuur (gemodificeerd) ontleend aan werkboekPracticumFonetiek2004.pdf.

Een tweede voorbeeld van het gebruik van het begrip bandbreedte is de beschrijving van het geluid dat een - klassieke - telefoon produceert. Deze telefoon werkt als filter op het - breedbandige - elektrische ingangssignaal. Het geluid uit de telefoon heeft een bandbreedte van 300 Hz - 3400 Hz.


Tenslotte, als laatste voorbeeld, worden tertsbandfilters en octaafbandfilters in de audiologie gebruikt om ‘witte ruis’ aan te passen aan de eigenschappen van het gehoor. Witte ruis heeft bij alle frequenties per Hz bandbreedte dezelfde energie. Witte ruis heeft deze naam naar analogie van licht, omdat in wit licht alle kleuren even sterk aanwezig zijn. Zou men witte ruis gebruiken als maskeerruis dan zouden de hoogfrequente tonen meer gemaskeerd worden dan de laagfrequente, omdat de kritieke bandbreedte (die bepalend is voor de mate van maskering) toeneemt met de frequentie. De breedte van een kritieke band rond b.v. 2000 Hz is twee keer zo groot als die rond 1000 Hz en dus bevat de maskeerruis voor de 2000 Hz toon twee keer zoveel energie als die voor de 1000 Hz toon. Dit betekent dat de maskeerdrempel telkens 3 dB toeneemt wanneer de frequentie van de te maskeren toon met een octaaf wordt verhoogd. Men kan dit ook horen. Bij het luisteren naar witte ruis - in het gebied van de audiofrequenties - overheerst de hoogfrequente energie. Deze ruis heeft een scherpe sisklank.


Deze eigenschap van witte ruis is geïllustreerd door de groene staven in Fig.12. Splitst men voor witte ruis het hele frequentiegebied op in aaneengesloten octaafbanden en bepaalt men voor elk van deze banden het geluidsniveau dan is dit in elke volgende band 3 dB hoger dan in de vorige.


Fig.12. Spectra van witte ruis (de groene staven) en van roze ruis (de rode staven). De staven geven frequentiebanden met een breedte van een octaaf weer. Merk op dat octaafbanden op een logaritmische schaal als in deze figuur naarmate de frequentie hoger wordt weliswaar even breed zijn, maar in feite steeds meer frequenties (Hz’en) bevatten. Bij de roze ruis is voor deze toename gecorrigeerd zodat alle frequentiebanden dezelfde energie bevatten. Figuur ontleend aan eerdere versie van http://www.acs.psu.edu/drussell/demos.html (met toestemming van Daniel A. Russel).


Teneinde deze ‘dominantie’ van de hoge frequenties te compenseren, en de ruis aan te passen aan de eigenschappen van het gehoor, wordt de witte ruis gefilterd ten koste van de hoge frequenties. Om de maskerende werking te egaliseren moet het filter dus een helling van –3 dB per octaaf hebben. Het resultaat is ‘roze ruis’ omdat hierin, vergeleken met witte ruis, de lage frequenties sterker vertegenwoordigd zijn dan de hoge (evenals in rood licht). De reeks rode staven in Fig.12 toont het spectrum van roze ruis, opgesplitst in frequentiebanden met een breedte van één octaaf. Roze ruis is een veel evenwichtiger (prettiger) ruissignaal om naar te luisteren dan witte ruis.


 


5.3.1.4(2). Amplitudemodulatie en frequentiemodulatie

Amplitudemodulatie
Een sinusvormig signaal kan een periodieke verandering in de amplitude opgedrongen krijgen. Dit heet ‘amplitudemodulatie’ (AM). Het principe van amplitudemodulatie is afgebeeld in Fig.13. Het sinusvormige signaal waarvan de amplitude constant (bovenste deel van de figuur) is de ‘draaggolf’ of ‘carrier’. Deze draaggolf krijgt vervolgens de amplitude opgedrongen van de langzame trilling die door de draaggolf heen is getekend. Dit is het ‘modulatiesignaal’ (‘modulator’). Het resultaat is de gemoduleerde draaggolf in het onderste gedeelte van de afbeelding.


Fig.13. Principe van amplitudemodulatie. De hoogfrequente draaggolf in het bovenste deel van de figuur krijgt de amplitude opgedrongen van de langzame trilling die door de draaggolf heen is getekend (het modulatiesignaal). Het resultaat is de gemoduleerde draaggolf in het onderste gedeelte van de figuur.

Een sinusvormige draaggolf met frequentie fd in amplitude gemoduleerd met een frequentie fm wordt beschreven met de formule:


 (1 + Amsin 2π fm t) . Ad sin 2π fd t  (1)

Hierin is t de tijd en Ad de amplitude van de draaggolf. In feite is amplitudemodulatie een vermenigvuldiging van het oorspronkelijke (ongemoduleerde) sinusvormige signaal:


 Ad sin 2π fd t  (2)

met het modulatiesignaal:


 1 + Am sin 2π fm t  (3)

In deze formule is t de tijd en m de ‘modulatie-index’, de ‘diepte’ van de modulatie. De modulatie-index wordt uitgedrukt in procenten, volgens de definitie:


m =  Am/Ad x 100


met Am als de amplitude van de modulator en Ad als de amplitude van de draaggolf. Bij een modulatiediepte van 100% bereiken de dalen in het gemoduleerde signaal (Fig.13) precies de ‘nullijn’. Bij m = 0 is het oorspronkelijke signaal ongewijzigd. De modulatie-index kan ook uitgedrukt worden in decibels, met behulp van de formule 20 log m. Een modulatiediepte van 50% komt overeen met een modulatie-index van - 6 dB, want m = 20 log (0.5) = -6 (let op het ‘-‘ teken).


Het oor kan heel goed variatie in geluidssterkte detecteren. De kleinste modulatiediepte die te horen is (van ruis) ligt bij ongeveer 3% . Dit komt overeen met een gevoeligheid van -30.5 dB (m = 20 log 0.03).


Als de draaggolf een frequentie heeft van 1000 Hz en de modulatiefrequentie 100 Hz bedraagt dan bestaat het spectrum van het in amplitude gemoduleerde signaal uit drie frequentiecomponenten, n.l. 900 Hz, 1000 Hz en 1100 Hz. In het algemeen, bij een draaggolffrequentie van fd en modulatiefrequentie van fm, ziet het spectrum er, bij 100% modulatiediepte, uit als afgebeeld in Fig.14. De frequenties links en rechts van de frequentie van de draaggolf, respectievelijk fd – fm en fd + fm, worden ‘zijbanden’ genoemd. Bij een modulatiediepte van 100% liggen de zijbanden 6 dB beneden het niveau van de modulatiefrequentie fd.


Fig.14. Spectrum van een in amplitude gemoduleerd signaal (draaggolffrequentie f d en modulatiefrequentie fm, bij 100% modulatie. 

Van de ‘spectrale kant’ uit geredeneerd levert de samenklank van drie opeenvolgende harmonische van een gemeenschappelijke grondfrequentie, 300, 400 en 500 Hz een in amplitude gemoduleerd signaal op. Na 10 ms heeft het signaal met de laagste frequentie drie perioden, de tweede vier perioden en de derde vijf perioden doorlopen en is elk weer in de eerste (start) positie. In het gezamenlijke resultaat is dus een periodiciteit van 10 ms aanwezig. De modulatiefrequentie is dus 100 Hz, bij een draaggolffrequentie van 400 Hz.


Frequentiemodulatie
Een sinusvormig signaal (dus een signaal met één frequentie) kan ook een periodieke verandering in frequentie opgedrongen krijgen. Dit heet ‘frequentiemodulatie’ (FM). Het principe van frequentiemodulatie is afgebeeld in Fig.15. Het sinusvormige signaal in de middelste strook van de figuur is weer de ‘draaggolf’ of ‘carrier’. Deze draaggolf krijgt vervolgens periodieke veranderingen in frequentie opgedrongen binnen de grenzen +Δf en -Δf en volgens het tempo aangegeven in de bovenste strook van Fig.15. Dit is het ‘modulatiesignaal’ (‘modulator’), met frequentie fm. Het resultaat is een in frequentie gemoduleerde draaggolf in het onderste gedeelte van de afbeelding. Het zal wanneer het ten gehore wordt gebracht periodiek, fm maal per seconde, hoger en lager klinken.


Fig.15. Principe van frequentiemodulatie. De hoogfrequente draaggolf in het middelste deel van de figuur krijgt de frequentievariatie opgedrongen die afgebeeld is in het bovenste gedeelte van de figuur (het modulatiesignaal). Het resultaat is de in frequentie gemoduleerde draaggolf in het onderste gedeelte van de afbeelding.

Een sinusvormige draaggolf met frequentie fd in frequentie gemoduleerd met een frequentie fm wordt beschreven met de formule:


A sin (2π fd t + β cos 2π fmt)


In deze formule is t de tijd, A de amplitude van het signaal en β de modulatie-index voor frequentiemodulatie. De definitie van β luidt:


β = Δf/fm


In feite is dit de grootte van de ‘zwaai in frequentie’, dus de mate waarin de draaggolffrequentie varieert (twee maal de amplitude van de variatie), uitgedrukt in de modulatiefrequentie . Wanneer b.v. bij een draaggolffrequentie van 200 Hz en een modulatiefrequentie van 20 Hz de frequentie van het gemoduleerde signaal varieert van 140 tot 260 Hz (Δf = 120 Hz) geldt dat β = 120/20 = 6. Bij een variatie van 190 tot 210 Hz (Δf = 20 Hz) is β gelijk aan 1.


Voor een goed begrip dient men dus te onderscheiden tussen de (relatieve) grootte van de ‘zwaai in frequentie’, weergegeven door β, en de snelheid van de zwaai weergegeven door fm.


Het spectrum van een in frequentie gemoduleerd sinusvormig signaal bevat veel frequentiecomponenten. Bij een draaggolffrequentie fd, modulatiefrequentie fm en β = 1 bevat het spectrum zijbanden met componenten fd, fd - fm, fd + fm, fd - 2fm en fd + 2fm zoals afgebeeld in het bovenste gedeelte van Fig.20. De bandbreedte (zie de horizontale as in de figuur) wordt bepaald door de formule:


Bandbreedte = 2.(β + 1 ).fm


In het bovenste gedeelte van Fig. 20, bij β = 1, is de bandbreedte dus 4 fm. De band ‘loopt’ dus van fd - 2fm tot fd + 2fm. Wanneer β kleiner wordt neemt de grootte van de twee buitenste spectraallijnen af en gaat het spectrum meer en meer lijken op dat van een AM signaal (bij 50% modulatiediepte). Wanneer de zwaai in frequentie toeneemt (β groter) ondergaat het ‘paaltjesspectrum’ een sterke verbreding, zoals afgebeeld in het onderste gedeelte van Fig.16. voor β = 7. De bandbreedte bedraagt hier 16 fm. Het zal duidelijk zijn dat een FM signaal in het algemeen een veel breder spectrum en véél meer spectrale componenten heeft dan een AM signaal.


Fig.16. Spectrum van een in frequentie gemoduleerd signaal (draaggolffrequentie fd en modulatiefrequentie fm, bij respectievelijk β = 1 (relatief kleine ‘zwaai’ in frequentie, bovenste gedeelte van de figuur) en β =7 (grotere ‘zwaai’ in frequentie, onderste gedeelte van de figuur). Ontleend aan: http://www.northcountryradio.com/PDFs/, column012.pdf (gemodificeerd).

 


5.3.1.5(2). Fourieranalyse

Opbouw van een complex signaal uit afzonderlijke sinussen
In het voorafgaande is gesteld dat elk samengestelde periodiek signaal beschreven kan worden als de som van een reeks sinusvormige signalen. Deze analyse (‘Fourieranalyse’) is genoemd naar de Franse wiskundige, J.B.J. Fourier (1768-1830). De samenstellende sinussen heten de frequentiecomponenten van dat samengestelde periodieke signaal. Bij een periodiek samengesteld signaal met periode T zijn deze componenten altijd afkomstig uit de reeks harmonischen met frequentie 1/T (1ste harmonische of grondtoon), 2/T, 3/T, etc. De weergave van de sterktes van de sinusvormige componenten als functie van de frequentie is het spectrum van het betreffende periodieke signaal. Het principe werkt ook in de tegenovergestelde richting. Uit een reeks harmonischen (en de bijbehorende fases) kan - maar op één manier - een samengesteld periodiek signaal berekend worden.


In Fig.17 kan men zien hoe een samengesteld periodiek signaal (een ‘blokgolf’) meer en meer zijn uiteindelijke vorm krijgt naarmate er, uitgaande van de grondfrequentie, meer harmonischen toegevoegd worden.


Fig.17. De opbouw van een periodieke blokpuls met een herhalingsfrequentie van 200 Hz uit sinussen. De linker figuur laat het principe zien. Het spectrum van het signaal (oneven harmonischen en afname 6 dB/octaaf) is geschetst in de middelste figuur en het resultaat van de geleidelijke opbouw op basis van de afzonderlijke componenten is weergegeven in het rechter deel van de figuur.

In Fig.18 wordt een overzicht gegeven van de spectra van een aantal signaalvormen. Het gaat hier om signalen die niet beperkt zijn in duur (‘oneindig lange’ signalen). Deze signaalvormen en spectra worden kort besproken. Vervolgens worden in Fig.19 de vormen en spectra van een reeks kortdurende signalen (in dit geval impulsen en korte toonstootjes) getoond. Deze worden daarna uitvoeriger besproken.


 

Spectra van langdurende signalen


Fig.18. Reeks signaalvormen en de bijbehorende spectra. Figuren deels ontleend aan Rodenburg, 1975, deels aan diverse websites.

A - Sinusvormig signaal
Het spectrum van een - oneindig lang durend - sinusvormig signaal bevat één enkele frequentiecomponent.


B - Periodiek blokvormig signaal (blokgolf)
Het spectrum van een blokvormig signaal bevat alleen oneven harmonischen. Deze nemen met 6 dB/octaaf in amplitude af (zie ook Fig.17).


C - Periodieke ‘driehoekvormig’ signaal
Een periodiek signaal met de vorm van een driehoek bevat de herhalingsfrequentie en alle oneven harmonischen, met daarbij een afname in amplitude van 12 dB/octaaf (in tegenstelling tot het blokvormige signaal, met diezelfde oneven harmonischen, maar met een afname van 6 dB/octaaf).


D - Periodieke ‘zaagtandvormig’ signaal
Een periodiek signaal met de vorm van een zaagtand bevat de herhalingsfrequentie en alle (even en oneven) harmonischen, met daarbij een afname in amplitude met 6 dB/octaaf.


E - Ruis
Ruis is een ‘stochastisch’ signaal. Dit betekent dat de amplitudes en fases in het signaal bepaald worden door het toeval. Alle frequenties zijn - binnen zekere grenzen - aanwezig. In het spectrum wordt dit aangegeven door een rechte horizontale lijn bij een sterkte die overeen komt met de gemiddelde energie van de ruis per Hz (het ‘spectrale niveau’).


 

Spectra van kortdurende signalen


Periodieke impuls
Fig.19(A) geeft het spectrum een reeks kortdurende impulsen. Deze reeks heet een ‘periodieke impuls’ of ‘pulstrein’. Om de vorm van dit spectrum van dergelijke pulstreinen te begrijpen wordt uitgegaan van het blokvormige signaal in Fig.18(B). Het spectrum van deze – symmetrische – blokgolf bevat de oneven harmonischen van de herhalingsfrequentie (1/T). De ‘breedte’ van de blokjes (de pulsduur) wordt aangegeven door het symbool τ. De periodieke impuls in Fig.19(A) kan men beschouwen als eenzelfde blokgolf, maar met een sterk ingekorte pulsduur τ. Deze verkorting – bij dezelfde herhalingsfrequentie – heeft tot gevolg dat (1) het spectrum breder wordt en (2) er een lobbenstructuur in het spectrum verschijnt. De lobben zijn opgevuld met de harmonischen van het oorspronkelijke blokvormige signaal, 1/T, 2/T, 3/T etc. en aangegeven door de ‘paaltjes’. De breedte van de lobben wordt bepaald de eerste harmonische in de reeks waarvan de sterkte minimaal is. Het nummer van deze harmonische (n) is gelijk aan T/τ. Voor T/τ = 2, dus voor de blokgolf in Fig.18(B), is de sterkte van alle even harmonischen gelijk aan nul. Inderdaad bevat het spectrum alleen oneven harmonischen.


In Fig.19(A) hebben de impulsen een zeer korte duur. In dit voorbeeld geldt T/τ = 17. Het spectrum loopt dus heel ver door. Stel dat er 200 impulsen per seconde zijn dan staan de ‘paaltjes’ in het spectrum op afstanden 200 Hz en verschijnt de eerste ‘minimale’ harmonische bij 3400 Hz


In Fig.19(B) geldt T/τ = 10. De minima van de lobben liggen dus bij de 10de, de 20ste harmonische etc.


In Fig.19(C) is geldt T/τ = 5. De minima van de lobben liggen nu bij de 5de, de 10de harmonische etc.


Fig.19. Spectra van enkele kortdurende signalen. Voor de beschrijving wordt verwezen naar de tekst. (http://www.personal.rdg.ac.uk/~sis01xh/teaching/CY2G2/ST7.pdf).

Samenvattend bepaalt bij een periodieke impuls de herhalingsfrequentie de afstand van de paaltjes in het spectrum (het ‘raster’) en de tijd dat het signaal ‘aan’ is binnen een periode de breedte van de lobben.


Wanneer de duur van de impulsen kleiner wordt - bij dezelfde herhalingsfrequentie - wordt het spectrum breder, wan de eerste ‘minimale’ harmonische komt verder weg te liggen. Hierbij geldt wel dat de lobben en daarmee de sterkte van de componenten afnemen in hoogte, want de energie in het signaal wordt over een groter gebied uitgesmeerd. In de voorafgaande beschouwing is geen aandacht besteed aan de rol van de fases van de frequentiecomponenten in het spectrum.


Klik
Men kan de voorafgaande redenering uitbreiden en dan de vorm van het spectrum van een enkele kortdurende impuls duidelijk maken (Fig.19(D)). Als de herhalingsfrequentie van de reeks impulsen heel klein gemaakt wordt, b.v. 1 Hz, dan bevat het signaal de componenten 1, 2, 3 …, Hz. Als tevens de pulsduur zeer klein gemaakt wordt, b.v. 0.5 ms, dan ligt het eerste minimum in het spectrum bij 2000 Hz. Zo verder doorgaande, als de pulsduur tot nul nadert en de tussentijd van de impulsen heel lang wordt (zeer lage herhalingsfrequentie) ontstaat een bandbreedte die heel groot is en liggen de frequenties zeer dicht op elkaar. Binnen dit gebied zijn alle frequenties even sterk aanwezig, maar hun sterktes zijn gering, ook omdat de energie-inhoud van een enkele impuls heel klein is. Het spectrum ‘oogt’ als een vlak spectrum. Het spectrum van een ‘oneindig korte’ puls (een ‘Dirac’ of ‘Delta’ puls) bevat alle frequenties van 0 Hz tot oneindig, met allemaal dezelfde heel kleine spectrale sterkte (vlak spectrum).


Korte toonpuls (toonstoot)
Het spectrum van een oneindig lang sinusvormig signaal bevat één frequentie. Zie Fig.18(A). Een korte toonstoot echter levert een breed spectrum. Wanneer de toon ook nog min of meer abrupt in- en uitgeschakeld wordt verschijnen in het spectrum ‘nieuwe’ frequenties. Dit is ook te horen, want bij abrupt in- en uitschakelen hoort men kliks. De verbreding van het spectrum is afhankelijk van de duur van de toonpuls, zoals dat ook het geval was bij de periodieke impuls in het voorafgaande. Uit de Fourieranalyse volgt dat er een spectrum met een lobbenstructuur ontstaat, met de frequentie van de aangeboden toonpuls, b.v. 1000 Hz, in het midden, zoals geïllustreerd in Fig.19(E). Bij een pulsduur van 5 ms liggen de ‘minima’ op onderlinge afstanden van 200 Hz. De frequenties in het centrale deel van het signaal (men spreekt over de ‘frequentie-inhoud’ van het signaal) bevinden zich met afnemende sterkte tussen de grensfrequenties 1000 -200 = 800 Hz en 1000 + 200 = 1200 Hz waar de eerste minima in het spectrum liggen. De bandbreedte (symmetrisch rond de 1000 Hz) is dus 400 Hz.


Als de toonstoot langer duurt, b.v. 50 ms, dan liggen de grensfrequenties al op 20 Hz afstand van de centrale frequentie 1000 Hz. Het spectrum is dan goed geconcentreerd op de plaats waar het hoort en de verstoring t.g.v. de korte duur van de impuls is dan minder ernstig. Zie ook Fig.10E.


Als de toonstoot heel kort gemaakt wordt, b.v. 1 ms (één periode) bedraagt de bandbreedte (rond 1000 Hz) 2000 Hz. Het spectrum van de sinus gaat dan sterk op dat van een enkele puls lijken. Dit geldt ook voor klank. Die wordt minder tonaal en gaat steeds meer op de klank van een klik lijken.


Bij audiometrie is het aanbieden van extra frequenties naast de test toon uiteraard ongewenst. Door de toon geleidelijk in- en uit te schakelen (‘infaden’) en langer te laten duren kan de sterkte van de ongewenste frequenties beperkt worden. In Fig.20 worden twee spectra met elkaar vergeleken. De linker figuur toont het spectrum van een korte toonstoot die abrupt in- en uitgeschakeld wordt en de rechter figuur geeft het spectrum wanneer een toonstoot van dezelfde duur volgens een bepaalde gewichtsfunctie geleidelijk in- en uitgeschakeld wordt.


Fig.20. Spectrum van een kort toonstootje bij abrupte in- en uitschakeling (a) en bij geleidelijke in- en uitschakeling volgens een bepaalde gewichtsfunctie (b). Figuren ontleend aan Durrant and Lovrinic, 1995.

Meer voorbeelden van signalen en hun spectra zijn te vinden op de websites:


http://www.acs.psu.edu/drussell/Demos/Fourier/Fourier.html en http://virtueelpracticumlokaal.nl/sound_nl/sound_nl.html.


 

5.3.1.6(2). Vervorming
(Zie ook Hfdst.9.2.4(2), Par.10)


Wanneer een signaal in een apparaat versterkt, verzwakt, of gefilterd wordt bevat het uitgangssignaal vaak nieuwe, ongewenste, frequentiecomponenten. Het uitgangssignaal is dan ‘vervormd’. Het gaat hier niet om vormveranderingen die het gevolg zijn van faseveranderingen in de frequentiecomponenten van het signaal (zoals afgebeeld in Fig.7; dit heten ‘lineaire’ bewerkingen), maar om ‘niet-lineaire’ effecten, waarbij er meer frequenties uit komen dan er ingegaan zijn. De belangrijkste vormen van – ongewenste – vervorming zijn:


  • Amplitudevervorming
  • Intermodulatievervorming

Amplitudevervorming(harmonische vervorming)
Amplitudevervorming (harmonische vervorming) ontstaat in elektronische apparaten zoals versterkers, verzwakkers, verzwakkers, microfoons en luidsprekers. Een gemakkelijk voor te stellen amplitudevervorming is ‘peak-clipping’. Het ontstaat b.v. in een versterker met een klein dynamisch bereik (een ‘slechte’ versterker). Wanneer het ingangssignaal te groot wordt gemaakt is het uitgangssignaal sterk afgeplat (‘geclipt’). Bij amplitudevervorming behoudt het signaal zijn periodiciteit. In het algemeen is dan, bij een sinusvormig ingangssignaal, is het uitgangssignaal niet sinusvormig, maar zijn de toppen meer of minder afgeplat, zoals geïllustreerd in Fig.21. Hoe groter de vervorming is des te meer extra harmonischen in het spectrum verschijnen.


Fig.21. Spectrum van een sterk vervormd signaal (amplitudevervorming). Het ingangssignaal is sinusvormig (oscillogram ‘IN’, frequentie f0) en het uitgangssignaal (oscillogram ‘OUT’) is ‘afgeplat’. De verticale schaal in de figuur is een decibelschaal. Figuur ontleend aan Durrant and Lovrinic, 1995.


De totale amplitudevervorming (TAV, in het Engels ‘Total Harmonic Distortion’ - ‘THD’), uitgedrukt in procenten, in een signaal met vermogens van de grondfrequentie en hogere harmonischen van respectievelijk P1, P2, P3 …Pn, bedraagt:


Het percentage amplitudevervorming kan omgerekend worden naar dB’s met de formule:


TAV(dB) = 20 log (1/ TAV(%))


Een percentage amplitudevervorming van 1% betekent dat de vervormingscomponenten 40 dB zwakker zijn dan het signaal als geheel. Amplitudevervorming is vanaf 2% (-34 dB) hoorbaar. Zie ook de website http://www.dogstar.dantimax.dk/tubestuf/thdconv.htm. Hifi komt overeen met 0.1%.


Intermodulatievervorming
Wanneer het ingangssignaal van de apparatuur uit meerdere frequentiecomponenten bestaat, kunnen - in de apparatuur - interacties optreden tussen de verschillende ingevoerde frequentiecomponenten. Dit heet ‘intermodulatievervorming’. Men moet hier b.v. denken aan frequentiecomponenten die overeenkomen met de som of het verschil van de ingevoerde frequenties f1 en f2, zoals f1 + f2; f1 - f2; 2f1 - f2; 2 f2 – f1. De grootte van de intermodulatievervorming wordt, net als bij de amplitudevervorming, aangegeven als het percentage of aantal dB’s dat de intermodulatieproduct zwakker zijn dan de grondfrequentie. Deze vervorming wordt waarneembaar vanaf 1% en is nog acceptabel bij 2%.


Vervorming is een onvermijdelijke eigenschap van apparaten die signalen registreren en bewerken, zoals versterkers en filters. In hoortoestellen is intermodulatievervorming hinderlijker dan amplitudevervorming.


 


5.3.1.7(2). Links

Geluid algemeen
http://www.natuurwetenschappen.nl/modules.php?name=News&file=article&sid=284
Geluid in de natuur
http://www.acs.psu.edu/drussell
Interessante demo’s op het gebied van akoestiek


Techniek algemeen
http://www.northcountryradio.com/PDFs/
Groot aantal PDF’s over technische onderwerpen


Fonetiek
werkboekPracticumFonetiek2004.pdf
Werkboek Fonetiek Universiteit Utrecht


Frequentieanalyse (Fourier)
http://virtueelpracticumlokaal.nl/sound_nl/sound_nl.html
Fouriersynthese demo
http://www.acs.psu.edu/drussell/Demos/Fourier/Fourier.html
Fourierreeksen en golfvormen
http://cnx.org/content/m0066/latest/
Spectrum periodieke impuls
http://www.dliengineering.com/vibman/examplesofsomewaveformsandtheirspectra.htm
Golfvormen en spectra
http://home.eng.iastate.edu/~julied/classes/ee524/LectureNotes/Freq_domain_analysis.pdf
Frequentieanalyse
http://www.personal.rdg.ac.uk/~sis01xh/teaching/CY2G2/ST7.pdf
Frequentieanalyse – Zeer duidelijk


Signaalbewerking
http://www.vego.nl/4/m/m_202.htm
Modulatie
http://www.sfu.ca/sonic-studio/handbook/Amplitude_Modulation.html
Amplitudemodulatie
http://www.fas.org/man/dod-101/navy/docs/es310/FM.htm#fm
Frequentiemodulatie
http://www.sfu.ca/sonic-studio/handbook/Sawtooth_Wave.html
Zaagtand


Vervorming
http://www.dogstar.dantimax.dk/tubestuf/thdconv.htm
THD Measurement and Conversion


 


5.3.1.8(2). Bijdragen

Dit hoofdstuk is, behalve door de leescommissie, becommentarieerd door Bas Franck en Rolph Houben.

 

Literatuur

  1. Durrant JD, Lovrinic JH. Bases of hearing science. Baltimore: The Williams & Wilkins Company, 3rd edition, 1995. ISBN 0683027379.
  2. Moore, BCJ. ‘Hearing’, Academic liress, San Diego, 1995.
  3. Moore BCJ. An introduction to the lisychology of hearing. Academic Press, San Diego etc., 2001.
  4. Rodenburg M. Klinische Audiologie. Leiden: Stafleu, 1975.
  5. Plomp Reinier. Aspects of Tone Sensation. Academic Press, 1976.
  6. Rodenburg M. Geluid. Lemma BV, Utrecht, 1995.
  7. Slis, IH. ‘Audiologie – Horen in een wereld van geluid’. Dick Coutinho, Bussum, 1996.

© NVA leerboek 2000-2017 Privacy | Disclaimer | Copyright | Statistieken | Webredactie